/ / / / /

Matematika Dasar Integral Fungsi (๐Ÿ‘Š Soal Dari Berbagai Sumber ๐Ÿ‘Š)

August 08, 2013 Add Comment Edit
etika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk Matematika Dasar Integral Fungsi (๐Ÿ‘Š Soal Dari Berbagai Sumber ๐Ÿ‘Š)Ketika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ dapat kita tulis dalam bentuk $dy=f(x)dx$.

Secara umum, jika $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ dapat dituliskan dalam bentuk: $\int f(x)dx=F(x)+c$
dibaca:"integral fungsi $f(x)$ ke $x$ sama dengan $F(x)+c$"
keterangan tambahan:
$\begin{align}
\int f(x)dx & = \text{notasi integral tak tentu} \\
F(x)+c & = \text{fungsi antiturunan} \\
f(x) & = \text{fungsi yang diintegralkan (integran)}\\
c & = \text{konstanta} \\
d(x)&= \text{diferensial (turunan) dari}\ x
\end{align}$

Aturan Dasar Integral Tak Tentu

  1. $\int dx= x + c$
  2. $\int k\ dx= kx + c$
  3. $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$
  4. $\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx$
  5. $\int \left[f(x) + g(x) \right]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
  6. $\int \left[f(x) - g(x) \right]dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$
  7. $\int a^{x} dx= \left (\dfrac{1}{ln\ a} \right )a^{x} + c$
  8. $\int a^{u(x)} dx= \left (\dfrac{1}{u'(x)\ ln\ a} \right )a^{u(x)} + c$
  9. $\int \dfrac{1}{x} dx= ln\ \left |x \right | + c$
  10. $\int \dfrac{1}{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left |u(x) \right | + c$
  11. $\int e^{x} dx= e^{x} + c$
  12. $\int e^{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)}e^{u(x)} + c$
  13. $\int sin\ x\ dx= -cos\ x + C$
  14. $\int sin\ u(x)\ dx= -\dfrac{1}{u'(x)}cos\ u(x) + c$
  15. $\int cos\ x\ dx= sin\ x + C$
  16. $\int cos\ u(x)\ dx= \dfrac{1}{u'(x)}sin\ u(x) + c$
  17. $\int tan\ x\ dx= ln\ \left |sec\ x \right | + c$
  18. $\int tan\ u(x)\ dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sec\ u(x) \right | + c$
  19. $\int cosec\ x\ dx= ln\ \left |cosec\ x-cotan\ x \right |+ c$
  20. $\int cosec\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | cosec\ u(x)-cotan\ u(x) \right | + c$
  21. $\int sec\ x\ dx= ln\ \left | sec\ x+ tan\ x \right | + c$
  22. $\int sec\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sec\ u(x)+ tan\ u(x) \right | + c$
  23. $\int cot\ x\ dx= ln\ \left | sin\ x \right | + c$
  24. $\int cot\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sin\ u(x) \right | + c$

Integral Parsial

$\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$

Integral Tentu

Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Sifat Integral Tentu
  1. $\int_{a}^{a}f(x)dx=0$
  2. $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$
  3. $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{p}f(x)dx+\int_{p}^{b}f(x)dx$
    dimana $a \leq p \leq b $

Untuk memantapkan beberapa aturan dasar integral fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau swasta≡ฦ’รฟรจ.

1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (๐Ÿ‘Š Soal Lengkap ๐Ÿ‘Š)

Hasil dari $\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ adalah...
$(A)\ -\dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $
$(B)\ -\dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $
$(C)\ \dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $
$(D)\ \dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $
$(E)\ \dfrac{4}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $
Alternatif Pembahasan:

Hasil $\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ kita coba kerjakan dengan pemisalan;
Misal:
$u=x^{2}-1$
$\dfrac{du}{dx}=2x$
$du=2x\ dx$

Soal diatas, kini bisa kita rubah menjadi;
$\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $
$=\int 2 \cdot 2x\ u^{5}\ dx $
$=\int 2 u^{5}\ 2x\ dx $
$=\int 2 u^{5}\ du $
$=\dfrac{2}{5+1} u^{5+1}+C $
$=\dfrac{2}{6} u^{6}+C $
Lalu kita kembalikan nilai $u=x^{2}-1$
$=\dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} +C $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $

2. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (๐Ÿ‘Š Soal Lengkap ๐Ÿ‘Š)

2. Diketahui $\int_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx=3$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah...
$(A)\ -3$
$(B)\ -2$
$(C)\ 1$
$(D)\ 2$
$(E)\ 3$
Alternatif Pembahasan:

$ \begin{align}
\int_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx & = 3 \\
\left [\dfrac{1}{3}x^{3}-px^{2}+px+2x \right ]_{0}^{3} & = 3 \\
\left [\dfrac{1}{3}(3)^{3}-p(3)^{2}+p(3)+2(3) \right ]-\left [0 \right ] & = 3 \\
\left [9-9p+3p+6 \right ]-0 & = 3 \\
\left [15-6p \right ] & = 3 \\
15-3 & = 6p \\
12 & = 6p \\
2 & = p
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (๐Ÿ‘Š Soal Lengkap ๐Ÿ‘Š)

$ \int_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx=\cdots$
$(A)\ -\dfrac{1}{2}$
$(B)\ \dfrac{1}{2}$
$(C)\ \dfrac{3}{2}$
$(D)\ 4$
$(E)\ 6$
Alternatif Pembahasan:

$ \begin{align}
& \int_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx \\
& = \int_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+6x-x-2 \right ) dx \\
& = \int_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+5x -2 \right ) dx \\
& = \left [ \dfrac{3}{2+1}x^{2+1}+\dfrac{5}{1+1}x^{1+1}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ x^{3}+\dfrac{5}{2}x^{2}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ (1)^{3}+\dfrac{5}{2}(1)^{2}-2(1) \right ] - \left [0 \right ] \\
& = \left [ 1+\dfrac{5}{2}-2 \right ] \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \dfrac{3}{2}$

4. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (๐Ÿ‘Š Soal Lengkap ๐Ÿ‘Š)

Diketahui $\int_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx$ adalah...
$(A)\ 24 \dfrac{4}{6}$
$(B)\ 24 \dfrac{3}{6}$
$(C)\ 20 \dfrac{4}{6}$
$(D)\ 20 \dfrac{1}{6}$
$(E)\ 16 \dfrac{1}{6}$
Alternatif Pembahasan:

$ \begin{align}
& \int_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx \\
& = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{12}{2}x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\dfrac{4}{3}(1)^{3}-6(1)^{2}+9(1) \right ]-\left [\dfrac{4}{3}(-1)^{3}-6(-1)^{2}+9(-1) \right ] \\
& = \left [\dfrac{4}{3}-6+9 \right ]-\left [-\dfrac{4}{3} -6-9 \right ] \\
& = \dfrac{4}{3}+3 +\dfrac{4}{3}+15 \\
& = \dfrac{8}{3}+18 \\
& = 20\dfrac{2}{3}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20 \dfrac{2}{3}$

5. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (๐Ÿ‘Š Soal Lengkap ๐Ÿ‘Š)

Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx=\cdots$
$(A)\ 0$
$(B)\ 1$
$(C)\ 2$
$(D)\ 3$
$(E)\ 4$
Alternatif Pembahasan:

Sebuah fungsi dikatakan fungsi genap

  • Berlaku $f(-x)=f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
  • Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int_{-a}^a f(x)dx =2\int_{0}^a f(x)dx $
    • Silahkan dibuktikan ciri fungsi genap diatas untuk $f(x)=x^{2}$ atau $f(x)=cos\ x$
Sebuah fungsi dikatakan fungsi ganjil
  • Berlaku $f(-x)=-f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat $(0,0)$
  • Jika dipakai pada integral, kekhususan fungsi ganjil ini adalah $\int_{-a}^a f(x)dx =0$.
    • Silahkan dibuktikan ciri fungsi ganjil diatas untuk $f(x)=x^{3}$ atau $f(x)=sin\ x$.

Kembali kepada soal,
$\begin{split}
& \int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\
& \int_{-4}^4 \left (f\left (x\right ) \sin x + f\left (x\right ) \right )\ dx = 8\\
& \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8
\end{split}
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga berlaku $\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx$.
\begin{split}
\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
0 + \int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
\int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
2 \int_{0}^4 f(x)\ dx &= 8\\
\int_{0}^4 f(x)\ dx &= 4\\
\int_{0}^4 f(x)\ dx &= 4\\

\Rightarrow \int_{-2}^4 f(x) dx = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx + 4 = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx = 0
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 0$

6. Soal Simulasi UNBK Matematika IPA 2019 (๐Ÿ‘Š Soal Lengkap ๐Ÿ‘Š)

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}+6x$, $y=-x^{2}-2x$. garis $x=-3$, dan $x=-1$ adalah...
$(A)\ 9\dfrac{1}{3}$
$(B)\ 10\dfrac{2}{3}$
$(C)\ 11\dfrac{1}{3}$
$(D)\ 13\dfrac{2}{3}$
$(E)\ 14\dfrac{2}{3}$
Alternatif Pembahasan:

Keterangan pada soal jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

etika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk Matematika Dasar Integral Fungsi (๐Ÿ‘Š Soal Dari Berbagai Sumber ๐Ÿ‘Š)
Dalam penulisan integral gambar diatas kita terjemahkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\left | \int_{-3}^{-1}\left ((x^2+6x)-(-x^2-2x) \right ) dx \right |$
$=\left | \int_{-3}^{-1}\left (x^2+6x+x^2+2x \right ) dx \right |$
$=\left | \int_{-3}^{-1}\left (2x^2+8x \right ) dx \right |$
$=\left | \left [\dfrac{2}{3}x^3+4x^2 \right ]_{-3}^{-1} \right |$
$=\left | \left [\dfrac{2}{3}(-1)^3+4(-1)^2 \right ]-\left [\dfrac{2}{3}(-3)^3+4(-3)^2 \right ] \right |$
$=\left | \left [-\dfrac{2}{3}+4 \right ]-\left [\dfrac{-54}{3}+36 \right ] \right |$
$=\left | \left [\dfrac{10}{3} \right ]-\left [-18+36 \right ] \right |$
$=\left | \dfrac{10}{3}-18 \right |$
$=\left | \dfrac{10}{3}-\dfrac{54}{3} \right |$
$=\left | -\dfrac{44}{3} \right |$
$=\left | -14\dfrac{2}{3} \right |$
$=14\dfrac{2}{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 14\dfrac{2}{3}$

7. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (๐Ÿ‘Š Soal Lengkap ๐Ÿ‘Š)

Hasil dari $\int \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ \dfrac{2}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2x}-2x + C \\
(B)\ \dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2x}-2x + C \\
(C)\ \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2x}+2x + C \\
(D)\ \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4x}-2x + C \\
(E)\ \dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{1}{4x}-2x + C
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

$ \begin{align}
& \int \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx \\
& = \int \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4}x^{-2} \right ) dx \\
& = \dfrac{4}{2+1}x^{2+1}-2x+\dfrac{\frac{1}{4}}{-2+1}x^{-2+1} + C \\
& = \dfrac{4}{3}x^{3}-2x-\dfrac{1}{4x}+C
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4x}-2x + C$

8. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (๐Ÿ‘Š Soal Lengkap ๐Ÿ‘Š)

Hasil dari $\int \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ \dfrac{16}{x}+2x^{3} + C \\
(B)\ \dfrac{16}{x}-2x^{3} + C \\
(C)\ -\dfrac{16}{x}-x^{3} + C \\
(D)\ -\dfrac{8}{x}+2x^{3} + C \\
(E)\ \dfrac{8}{x}-2x^{3} + C
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

$ \begin{align}
& \int \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \left ( \dfrac{-16}{x^{2}} - \dfrac{6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \left ( -16 x^{-2} -6x^{4-2} \right ) dx \\
& = \int \left ( -16 x^{-2} -6x^{2} \right ) dx \\
& = \dfrac{-16}{-2+1} x^{-2+1} -\dfrac{6}{2+1}x^{2+1}+C \\
& = 16 x^{-1} -2x^{3}+C \\
& = \dfrac{16}{x}-2x^{3}+C
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{16}{x}-2x^{3} + C $

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Bentuk Akar (๐Ÿ‘Š Soal Dari Berbagai Sumber ๐Ÿ‘Š) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Bentuk Akar sangat diharapkan≡ฦ’รฟรจ≡ฦ’รฟรจ.

Jika Bermanfaat≡ฦ’รฆรฎ Jangan Lupa Untuk Berbagi ≡ฦ’ร–ร…Share is Caring≡ฦ’รฆร‡


Via : http://www.foldersoal.com

0 Response to "Matematika Dasar Integral Fungsi (๐Ÿ‘Š Soal Dari Berbagai Sumber ๐Ÿ‘Š)"

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel