Soal Seleksi Akademik Masuk SMA Unggul DEL 2018 (π Matematika SMP HOTS π)
Diskusi matematika kita berikut ini kita coba dari Seleksi Akademik Ujian Masuk SMA Unggul Del 2018. Jika untuk anak SMP beberapa soal-soal yang diujikan pada seleksi masuk SMA Unggul DEl ini sudah kategri HOTS (High Order Thinking Skils). Soal-soal ini kita diskusikan mungkin membantu penalaran anak-anak SMP yang mau ikut ujian masuk ke SMA favorit lainnya. SMA favorit yang kita maksud disini adalah sekolah yang tidak termasuk dalam sistem PPDB online sehingga mereka melakukan tes masuk sekolah secara mandiri.Selain untuk mengasah kemampuan bernalar, latihan soal-soal ujian masuk SMA favorit ini juga sangat baik untuk mengasah kemampuan bernalar bagi yang ingin ikut kompetisi matematika tingkat SMP, karena seperti yang kita sebutkan diawal bahwa beberapa soal ini sudah mengajak kita untuk cara berpikir tingkat tinggi (HOTS).
1. Nilai dari $\left (1-\dfrac{1}{2} \right )\left (1-\dfrac{1}{3} \right )\left (1-\dfrac{1}{4} \right ) \cdots \left (1-\dfrac{1}{2016} \right )$ adalah...
$(A).\ \dfrac{1}{2011}$
$(B).\ \dfrac{1}{2013}$
$(C).\ \dfrac{1}{2015}$
$(D).\ \dfrac{1}{2016}$
Eksplorasi:
$\left (1-\dfrac{1}{2} \right )\left (1-\dfrac{1}{3} \right )\left (1-\dfrac{1}{4} \right )\ \cdots \left (1-\dfrac{1}{2016} \right )$
- $1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
- $1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
- $1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$ $\vdots$
- $1-\dfrac{1}{2015}=\dfrac{2015}{2015}-\dfrac{1}{2015}=\dfrac{2014}{2015}$
- $1-\dfrac{1}{2016}=\dfrac{2016}{2016}-\dfrac{1}{2016}=\dfrac{2015}{2016}$
$\left (1-\dfrac{1}{2} \right )\left (1-\dfrac{1}{3} \right )\left (1-\dfrac{1}{4} \right )\ \cdots \left (1-\dfrac{1}{2016} \right )$
$=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\ \cdots \dfrac{2014}{2015} \cdot \dfrac{2015}{2016}$
$=\dfrac{1}{{\color{Red} 2}} \cdot \dfrac{{\color{Red} 2}}{{\color{Red} 3}} \cdot \dfrac{{\color{Red} 3}}{{\color{Red} 4}}\ \cdots \dfrac{{\color{Red} 2\color{Red}0\color{Red}1\color{Red}4}}{{\color{Red}2\color{Red}0\color{Red}1\color{Red}5}} \cdot \dfrac{{\color{Red} 2\color{Red}0\color{Red}1\color{Red}5}}{2016}$
$=\dfrac{1}{2016}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ \dfrac{1}{2016}$
2. Untuk setiap bilangan bulat positip $x,y$ didefenisikan $x \Delta y=\dfrac{xy}{y-x}$. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $(x \Delta 6)=4(x \Delta 3)$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 9 \\
(B).\ & 5 \\
(C).\ & 4 \\
(D).\ & 2
\end{align}$
Dari defenisi yang diberikan $x \Delta y=\dfrac{xy}{y-x}$, maka kita peroleh;
$\begin{align}
(x \Delta 6) & = 4(x \Delta 3) \\
\dfrac{x \cdot 6}{6-x} & = 4 \left(\dfrac{x \cdot 3}{3-x} \right) \\
\dfrac{6x}{6-x} & = 4 \left( \dfrac{3x}{3-x} \right) \\
\dfrac{6x}{6-x} & = \dfrac{12x}{3-x} \\
\text{sama-sama}\ & \text{dibagi}\ (6x) \\
\dfrac{1}{6-x} & = \dfrac{2}{3-x} \\
3-x & = 2(6-x) \\
3-x & = 12-2x \\
-x+2x & = 12-3 \\
x & = 9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 9$
3. Suatu survei dilakukan pada siswa kelas X MIA SMA Unggul Del untuk mengetahui yang berminat mengikuti kegiatan Teater. Hasil survei adalah sebagai berikut:
Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas X di sekolah tersebut adalah...
- $25 \%$ dari total siswa putra dan $50 \%$ dari total siswa putri ternyata berminat mengikuti kegiatan tersebut;
- $90 \%$ dari total peminat kegiatan Teater adalah siswa putri.
$\begin{align}
(A).\ & 9:1 \\
(B).\ & 9:2 \\
(C).\ & 9:3 \\
(D).\ & 9:4
\end{align}$
Misalkan jumlah keseluruhan Putra$=Pa$ dan Putri$=Pi$
Dari informasi pada soal bahwa yang berminat mengikuti teater adalah $25 \%$ dari total siswa putra berarti yang ikut teater adalah $\dfrac{1}{4}\ Pa$;
$50 \%$ dari total siswa putri berarti putri yang ikut teater adalah $\dfrac{1}{2}\ Pi$
Total yang mengikuti teater adalah $25 \% Pa+50 \% Pi$
$90 \%$ dari total peminat kegiatan Teater adalah siswa putri, maka:
$\begin{align}
90 \% \times \left( 25 \% Pa+50 \% Pi \right) & = 50 \% Pi \\
\dfrac{9}{10} \times \left( \dfrac{1}{4} Pa+\dfrac{1}{2} Pi \right) &= \dfrac{1}{2} Pi \\
\dfrac{1}{4} Pa+\dfrac{1}{2} Pi &= \dfrac{10}{9} \cdot \dfrac{1}{2} Pi \\
\dfrac{1}{4} Pa+\dfrac{1}{2} Pi &= \dfrac{5}{9} Pi \\
\dfrac{1}{4} Pa &= \dfrac{5}{9} Pi - \dfrac{1}{2} Pi \\
\dfrac{1}{4} Pa &= \dfrac{10}{18} Pi - \dfrac{9}{18} Pi \\
\dfrac{1}{4} Pa &= \dfrac{1}{18} Pi \\
\dfrac{Pa}{4} &= \dfrac{Pi}{18} \\
\dfrac{Pa}{Pi} &= \dfrac{4}{18}=\dfrac{2}{9} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 9:2$
4. Perhatikan pola berikut:
Banyak lingkaran pada pola ke-50 adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 1275 \\
(B).\ & 1326 \\
(C).\ & 1452 \\
(D).\ & 1546
\end{align}$
Dari gambar dapat kita ambil beberapa informasi, yaitu:
- banyak lingkaran pada pola $[1]=3=1+2$; ekuivalen dengan $S_{2}$ pada deret aritmatika dimana $a=1$; $b=1$; $n=2$
- banyak lingkaran pada pola $[2]=6=1+2+3$; ekuivalen dengan $S_{3}$ pada deret aritmatika dimana $a=1$; $b=1$; $n=3$
- banyak lingkaran pada pola $[3]=10=1+2+3+4$; ekuivalen dengan $S_{4}$ pada deret aritmatika dimana $a=1$; $b=1$; $n=4$
- banyak lingkaran pada pola $[4]=15=1+2+3+4+5$; ekuivalen dengan $S_{5}$ pada deret aritmatika dimana $a=1$; $b=1$; $n=5$
Banyak lingkaran pola ke-50 sama dengan $S_{51}$ pada deret aritmatika dimana $a=1$; $b=1$; $n=51$;
$\begin{align}
S_{n} &= \dfrac{n}{2} \left( 2a +(n-1)b \right) \\
S_{51} &= \dfrac{51}{2} \left( 2(1) +(51-1)1 \right) \\
&= \dfrac{51}{2} \left( 2 +(50) \right) \\
&= \dfrac{51}{2} (52) \\
&= 1326
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 1326$
5. Banyak angka $17^{2}$ muncul pada akar agar persamaan
$\sqrt{17^{2}+17^{2}+ \cdots+17^{2}}=17^{2}+17^{2}+17^{2}$ bernilai benar adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 17 \\
(B).\ & 289 \\
(C).\ & 2601 \\
(D).\ & 4913
\end{align}$
$\sqrt{17^{2}+17^{2}+ \cdots +17^{2}}=17^{2}+17^{2}+17^{2}$ bernilai benar;
$\sqrt{17^{2}+17^{2}+ \cdots +17^{2}}=3 \times 17^{2}$
(kedua ruas dikuadratkan)
$17^{2}+17^{2}+ \cdots +17^{2}=\left( 3 \times 17^{2} \right)^{2}$
$17^{2}+17^{2}+ \cdots +17^{2}= 9 \times 17^{2} \times 17^{2}$
$17^{2}+17^{2}+ \cdots +17^{2}= {\color{Red} 9} {\color{Red} \times} {\color{Red} 1}{\color{Red} 7^{\color{Red} 2}} \times 17^{2}$
Dari hasil diatas dapat kita simpulkan:
$\sqrt{17^{2}+17^{2}+ \cdots +17^{2}}=17^{2}+17^{2}+17^{2}$
$\sqrt{{\color{Red} 9} {\color{Red} \times} {\color{Red} 1}{\color{Red} 7^{\color{Red} 2}} \times 17^{2}}=17^{2}+17^{2}+17^{2}$
Banyak $17^{2}$ yang di dalam akar adalah $9 \times 17^{2}=2601$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 2601$
6. Jika $x=2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{x}}}}$ maka nilai $x$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 3 \\
(B).\ & 4 \\
(C).\ & 5 \\
(D).\ & 6
\end{align}$
Bentuk soal $x=2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{x}}}}$ ekuivalen dengan bentuk soal $x=2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{\cdots}}}}$ sehingga
persamaan $x=2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{2+\dfrac{3}{x}}}}$
dapat kita ubah mejadi:
$\begin{align}
x & = 2+\dfrac{3}{x} \\
x^{2} & = 2x+3 \\
x^{2} -2x -3 & = 0 \\
(x+1)(x-3) & = 0 \\
x & = -1\ \text{(TM)} \\
x & = 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 3$
7. Banyaknya bilangan real yang memenuhi $x^{2017}+x^{2016}-x^{2015}=x^{2014}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 0 \\
(B).\ & 1 \\
(C).\ & 2 \\
(D).\ & 3
\end{align}$
$\begin{align}
x^{2017}+x^{2016}-x^{2015} & =x^{2014} \\
x^{2017}+x^{2016}-x^{2015}-x^{2014} & =0 \\
x^{2014} \left( x^{3}+x^{2} -x -1 \right ) & = 0 \\
x^{2014} (x-1)\left( x^{2}+2x +1 \right ) & = 0 \\
x^{2014} (x-1)(x+1)(x+1) & =0 \\
x=0;\ x=1;\ x =-1\ &
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 3$
8. $A$ dapat menyelesaikan sendiri sebuah pekerjaan dalam waktu 2 jam, sedangkan $B$ dapat menyelesaikan pekerjaan yang sama dalam waktu 6 jam. Jika mereka berdua bekerja bersama-sama, maka lama pekerjaan itu dapat selesai adalah ... jam
$\begin{align}
(A).\ & 1 \\
(B).\ & \dfrac{3}{2} \\
(C).\ & 3 \\
(D).\ & 4 \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Waktu yang dibutuhkan $A$ menyelesaikan "satu" pekerjaan adalah 2 jam maka kecepatan $A$ dalam menyelesaikan pekerjaan dapat kita tuliskan $v_{A}=\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{2}$.
Waktu yang dibutuhkan $B$ menyelesaikan "satu" pekerjaan adalah 6 jam maka kecepatan $A$ dalam menyelesaikan pekerjaan dapat kita tuliskan $v_{B}=\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{6}$.
Jika mereka bekerja bersama-sama maka waktu yang dibutuhkan adalah:
$\begin{align}
v_{A}+v_{B} & =\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6} \\
& =\dfrac{3}{6}+\dfrac{1}{6} \\
& =\dfrac{4}{6} \\
\end{align}$
Karena kecepatan adalah $\dfrac{4}{6}$ maka waktu yang dibutuhkan adalah
$\begin{align}
v & =\dfrac{1}{t} \\
\dfrac{4}{6} & =\dfrac{1}{t} \\
t & =\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ \dfrac{3}{2}$
9. Diketahui sistem persamaan:
$\begin{align}
3a+7b+c & = 315 \\
4a+10b+c & = 420
\end{align}$
Maka nilai $a+b+c$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 100 \\
(B).\ & 105 \\
(C).\ & 110 \\
(D).\ & 150
\end{align}$
Jika kedua persamaan diatas kita kurangkan maka akan kita peroleh
$\begin{array}{c|c|cc}
3a+7b+c = 315 & \\
4a+10b+c = 420 & (-)\\
\hline
a + 3b = 105 &
\end{array} $
Dari persamaan $3a+7b+c = 315$ kita lakukan manipulasi aljabar sebagai berikut;
$\begin{align}
3a+7b+c & =315 \\
2a+a+6b+b+c & =315 \\
2a+6b+a+b+c & =315 \\
2(a+3b)+a+b+c & =315 \\
2(105)+a+b+c & =315 \\
a+b+c & =315-210 \\
a+b+c & =105
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 105$
10. Diketahui $f$ fungsi real yang memenuhi $f(x+f(x))=4f(x)$ dan $f(1)=4$. Maka nilai $f(21)$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 36 \\
(B).\ & 48 \\
(C).\ & 64 \\
(D).\ & 72
\end{align}$
Dari fungsi $f(x+f(x))=4f(x)$ dan $f(1)=4$ dapat kita simpulkan:
untuk $x=1$ dan maka:
$\begin{align}
f(1+f(1)) & = 4f(1) \\
f(1+4) & = 4 \cdot 4\\
f(5) & = 16
\end{align}$
untuk $x=5$ dan maka:
$\begin{align}
f(5+f(5)) & = 4f(5) \\
f(5+16) & = 4 \cdot 16\\
f(21) & = 64
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 64$
11. SMP "Toba Sejahtera" hanya memiliki empat jenis kegiatan olah raga sebagai kegiatan ekstrakurikulernya, yaitu bola voli, renang, dan basket. Ucok, Fulan, Butet, Berliana masing-masing adalah pemain olahraga yang berbeda. Olahraga yang dimainkan Fulan tidak menggunakan bola. Butet lebih tua dari pemain bola voli. Butet dan Berliana bukan pemain sepak bola. Siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakurikuler bola voli adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \text{Ucok} \\
(B).\ & \text{Fulan} \\
(C).\ & \text{Butet} \\
(D).\ & \text{Berliana}
\end{align}$
Dari informasi pada soal
- Fulan tidak menggunakan bola maka olahraga Fulan adalah renang.
- Butet dan Berliana bukan pemain sepak bola maka olahraga Ucok adalah sepakbola
- Butet lebih tua dari pemain bola voli maka Butet bukan pemain bola voli olahraga butet adalah basket
- Siswa yang olahraganya bola voli adalah Berliana
12. $6$ ekor sapi dapat menghabiskan persediaan rumput selama $10$ hari, sedangkan $12$ ekor kambing dapat menghabiskan persediaan rumput selama $20$ hari. Waktu yang dibutuhkan jika persediaan rumput dimakan oleh $8$ ekor sapi dan $16$ ekor kambing secara bersamaan adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 5\ \text{hari} \\
(B).\ & 6\ \text{hari} \\
(C).\ & 7\ \text{hari} \\
(D).\ & 8\ \text{hari}
\end{align}$
Dari informasi pada soal untuk sapi
| Ekor | Hari |
| $6$ | $10$ |
| $8$ | $x$ |
\dfrac{6}{8} &= \dfrac{x}{10} \\
x &= \dfrac{60}{8}=\dfrac{15}{2}
\end{align}$
Dari informasi pada soal untuk kambing
| Ekor | Hari |
| $12$ | $20$ |
| $16$ | $y$ |
\dfrac{12}{16} &= \dfrac{x}{20} \\
y &= \dfrac{60}{4}=15
\end{align}$
Dari kedua data diatas, $8$ sapi dan $16$ kambing melakukan pekerjaan bersama-sama:
$\begin{align}
v_{8}+v_{16} &= \dfrac{1}{\dfrac{15}{2}}+\dfrac{1}{15} \\
&= \dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{15} \\
&= \dfrac{3}{15} \\
&= \dfrac{1}{5} \\
\end{align}$
Kecepatan bersama adalah $\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{5}$, maka waktu yang dibutuhkan adalah $5$ hari.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 5\ \text{hari}$
13. Jika kebalikan dari $\dfrac{3}{10}$ adalah $(\dfrac{1}{x}+1)$. Maka nilai dari $x$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{7}{3} \\
(B).\ & \dfrac{3}{13} \\
(C).\ & \dfrac{3}{7} \\
(D).\ & \dfrac{5}{3}
\end{align}$
kebalikan dari $\dfrac{3}{10}$ adalah $(\dfrac{1}{x}+1)$
$\begin{align}
\dfrac{10}{3} &= \dfrac{1}{x}+1 \\
3\dfrac{1}{3} &= \dfrac{1}{x}+1 \\
2\dfrac{1}{3}+1 &= \dfrac{1}{x}+1 \\
\dfrac{7}{3}+1 &= \dfrac{1}{x}+1 \\
x &=\dfrac{3}{7}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \dfrac{3}{7}$
14. Jika $a$ dan $b$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan $\left\{\begin{matrix}
2016a+2017b=6050\\
2017a+2016b=6049
\end{matrix}\right.$ maka nilai $b^{2}-a^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 2 \\
(B).\ & 3 \\
(C).\ & 4 \\
(D).\ & 5
\end{align}$
Jika kedua persamaan kita kurangkan, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2016a+2017b=6050 & \\
2017a+2016b=6049 & (-)\\
\hline
-a+b=1 & \\
b-a=1 &
\end{array} $
Jika kedua persamaan kita tambahkan, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2016a+2017b=6050 & \\
2017a+2016b=6049 & (+)\\
\hline
4033a+4033b=12099 & \\
a+b=3 & \\
b+a=3 &
\end{array} $
Nilai $b^{2}-a^{2}=(b+a)(b-a)=3 \cdot 1=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 3$
15. Ada tumpukan $16$ koin. Bagilah tumpukan ini menjadi empat tumpukan sehingga pada tumpukan ada sejumlah koin yang berbeda. Banyaknya koin minimal yang mungkin ada pada tumpukan koin yang tertinggi adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 4 \\
(B).\ & 6 \\
(C).\ & 8 \\
(D).\ & 10
\end{align}$
Dari $16$ koin akan dibagi menjadi 4 bagian yang berbeda;
Cara paling dasar membaginya adalah menjadi sama banyak;
$4;\ 4;\ 4;\ 4;$
$4;\ 3;\ 5;\ 4;$
$3;\ 3;\ 5;\ 5;$
$2;\ 3;\ 5;\ 6;$
Banyaknya koin minimal yang mungkin ada pada tumpukan koin yang tertinggi adalah $6$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 6$
16. Sebuah fungsi $f$ terdefenisi pada himpunan bilangan Asli, dan memiliki sifat:
$\begin{align}
f(1) & =3 \\
f(2x) & =4f(x)+1 \\
f(2x+1) & =f(x)+3x-5
\end{align}$
Nilai $f(11)=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 12 \\
(B).\ & 24 \\
(C).\ & 48 \\
(D).\ & 96
\end{align}$
Untuk $x=1$ maka:
$\begin{align}
f(2x) & =4f(x)+1 \\
f(2) & =4f(1)+1 \\
& =4 \cdot 3+1 \\
& =12+1=13 \\
f(2x+1) & =f(x)+3x-5 \\
f(3) & =f(1)+3-5 \\
& =3+3-5=1 \\
\end{align}$
Untuk $x=2$ maka:
$\begin{align}
f(2x) & =4f(x)+1 \\
f(4) & =4f(2)+1 \\
& =4 \cdot 13+1 \\
& =52+1=53 \\
f(2x+1) & =f(x)+3x-5 \\
f(5) & =f(2)+6-5 \\
& =13+1=14 \\
\end{align}$
Untuk $x=5$ maka:
$\begin{align}
f(2x) & =4f(x)+1 \\
f(10) & =4f(5)+1 \\
& =4 \cdot 14+1 \\
& =64+1=65 \\
f(2x+1) & =f(x)+3x-5 \\
f(11) & =f(5)+15-5 \\
& =14+10=24 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 24$
17. Diberikan empat bilangan bulat yang berurutan. Jika bilangan terkeci adalah $2m-1$, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 8m-10 \\
(B).\ & 8m+8 \\
(C).\ & 8m+3 \\
(D).\ & 8m+2
\end{align}$
Empat buah bilangan berurutan adalah $a,\ a+1,\ a+2,\ a+3$
$(2m-1),\ (2m-1)+1,\ (2m-1)+2,\ (2m-1)+3$
$(2m-1),\ (2m),\ (2m+1),\ (2m+2)$
Jumlah keempat bilangan adalah $8m+2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 8m+2$
18. Diketahui $a$ dan $b$ bilangan asli yang memenuhi $a+b=14$ dan $a^{2}-b^{2}=28$. Maka nilai $a^{2}+b^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 50 \\
(B).\ & 75 \\
(C).\ & 80 \\
(D).\ & 100
\end{align}$
$\begin{align}
a^{2}-b^{2} & =28 \\
(a+b)(a-b) & =28 \\
14(a-b) & =28 \\
(a-b) & =2 \\
(a-b)^{2} & =4 \\
a^{2}+b^{2}-2ab & =4 \\
a^{2}+b^{2} & =4+2ab
\end{align}$
$\begin{align}
a+b & =14 \\
(a+b)^{2} & =196 \\
a^{2}+b^{2}+2ab & =196 \\
4+2ab+2ab & =196 \\
4ab & =196-4=192 \\
ab & =\dfrac{192}{4}=48
\end{align}$
$a^{2}+b^{2} =4+2ab$
$a^{2}+b^{2} =4+96=100$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 100$
19. Diberikan $a,\ b,\ c$ adalah anggota bilangan ril (nyata).
$\left.\begin{matrix}
a+b+c=7\\
\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{7}{10}
\end{matrix}\right\}$ maka nilai $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{19}{10} \\
(B).\ & \dfrac{21}{10} \\
(C).\ & \dfrac{23}{10} \\
(D).\ & \dfrac{25}{10}
\end{align}$
Dari kedua persamaan $a+b+c=7$ dan $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{7}{10}$ jika kita kalikan maka akan kita peroleh persamaan sebagai berikut:
$\begin{align}
\left ( 7 \right )\left (\dfrac{7}{10} \right ) & =\left ( a+b+c \right )\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \right ) \\
\dfrac{49}{10} & = \dfrac{a+b+c}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a} \\
\dfrac{49}{10} & =\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{a+c}{c+a} \\ \\
\dfrac{49}{10} & = 1+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1 \\
\dfrac{49}{10} & = 3+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \\
\dfrac{49}{10}-3 & = \dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \\
\dfrac{19}{10} & = \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ \dfrac{19}{10}$
20. Peserta upacara bendera yang dihadiri oleh $600$ siswa disusun dalam $x$ baris. Tiap barisnya diisi oleh $y$ siswa. Jika susunan diubah dengan menambah $5$ baris, maka tiap barisnya berkurang 6 siswa. Banyak baris sebelum diubah adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 10 \\
(B).\ & 15 \\
(C).\ & 20 \\
(D).\ & 15
\end{align}$
Posisi awal tiap baris diisi oleh $y$ siswa maka barisan awal adalah $\frac{600}{x}=y$ atau $600=xy$.
Posisi kedua tiap baris diisi oleh $y-6$ siswa maka barisan kedua adalah $\frac{600}{x+5}=y-6$ atau
$\begin{align}
(x+5)(y-6) & =600 \\
xy-6x+5y-30 & =600 \\
-6x+5y -30 & =0 \\
-6x+5 \left (\dfrac{600}{x} \right ) -30 & =0\ \text{dikali}\ (x) \\
-6x^{2}+3000 -30x & =0\ \text{dibagi}\ (-6) \\
x^{2}+5x-500 & =0 \\
(x+25)(x-20) & =0 \\
x & = 20 \\
x & = -25\ \text{(TM)}
\end{align}$
Banyak baris sebelum diubah adalah $20$ kursi.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 20$
21. Empat bola berjari-jari sama yaitu $10$ cm terletak di atas meja sedemikian sehingga pusat dari keempat bola membentuk bujur sangkar bersisi $20$ cm. Bola kelima berjari-jari $10$ cm diletakkan di atasnya sehingga bola tersebut menyinggung keempat bola pertama. Tinggi pusat bola kelima dari meja adalah...cm
$\begin{align}
(A).\ & 10(\sqrt{2}+1) \\
(B).\ & 10(\sqrt{2}-1) \\
(C).\ & 9(\sqrt{2}+1) \\
(D).\ & 8(\sqrt{2}+1)
\end{align}$
Jika kita gambarkan ilustrasinya kurang lebih seperti berikut ini,
- PM adalah jarak pusat bola ke meja adalah $PE+EM$
- $EM$ adalah jari-jari bola yaitu $10$ cm
- $PC$ adalah 2 kali jari-jari bola yaitu $20$ cm.
- $EC$ adalah setengah diagonal persegi $ABCD$ yaitu $10\sqrt{2}$
- Dengan menggunakan teorema pythagoras
$PE=\sqrt{PC^{2}-EC^{2}}$
$PE=\sqrt{20^{2}-(10\sqrt{2})^{2}}$
$PE=\sqrt{400-200}$
$PE=\sqrt{200}$
$PE=10\sqrt{2}$ - $PM=PE+EM=10\sqrt{2}+10$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 10\sqrt{2}+10$
22. Perhatikan gambar berikut:
Meja segilima ditempatkan ujung ke ujung seperti gambar yan ditunjukkan untuk membuat satu meja besar. Satu orang duduk di setiap sisi terbuka dari segilima. Banyak orang dapat duduk di meja besar jika dibuat menggunkan lima segilima adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 15 \\
(B).\ & 16 \\
(C).\ & 17 \\
(D).\ & 18
\end{align}$
Dari gambar meja yang disusun dar $3$ segilima banyak orang yang duduk adalah $4+3+4=11$ orang.
Jika meja dibuat dari $5$ segilima maka banyak orang yang bisa duduk adalah $4+3+3+3+4=17$ orang.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ad Via : http://www.foldersoal.com
0 Response to "Soal Seleksi Akademik Masuk SMA Unggul DEL 2018 (π Matematika SMP HOTS π)"
Post a Comment